Echtzeit-Optimalsteuerung großer dynamischer Systeme

mit Anwendung bei verfahrenstechnischen Anlagen

Gesamtkonzept und Arbeitsprogramm

Im beantragten Forschungsvorhaben zu bearbeitende Teilaufgaben:

Für die Effektivität und die Effizienz des Verfahrens entscheidend ist die gemeinsame Untersuchung und Abstimmung der dargestellten Teilaufgaben auf unterschiedlichen Echtzeit-Skalen. Dies betrifft nicht nur die wechselseitige Verwendung von Berechnungsergebnissen und zugehörigen zusätzlichen Informationen sondern auch Teile der numerischen Algorithmen sowie die Abstimmung der unterschiedlichen Zeithorizonte (Vorhersage-, Regel-, Schätz-) und deren adaptive Anpassung.

a) Die wiederholte Optimalsteuerung bei wanderndem Vorhersagehorizont

dient der Berechung neuer, optimaler Sollwertrajektorien x*,j(t) und u*,j(t) bzw. u(x;p*,j) über dem jeweiligen Vorhersagehorizont P= [ t0,j,tf,j ]. Ausgangspunkt für diese Prädiktion des Prozessverhaltens bilden der geschützte, aktuelle Zustandsvektor x(t0,j) und das nichtlineare, dynamische Prozessmodell. Zur Berechnung einer Approximation des optimalen Zustandsverlaufs x*,j und der optimalen Steuerung u*,j wird ein in der Gruppe der Antragsteller jüngst entwickeltes auf Parameterisierung der Steuerungen beruhendes direktes Schießverfahren weiterentwickelt zur Berechnung parametrisierter optimaler Steuerungen bei Index 2-Differential-Algebraischen Gleichungssystemen (DAGen) mit Schaltpunkten zur effizienten wiederholten Optimierung über wandernde Vorhersagehorizonte.

Die benötigten Ableitungen der Lösung des Anfangswertproblems nach den Parametern werden durch interne numerische Differentiation berechnet ("differenziertes Integrationsverfahren"). Dazu muss das bisher eingesetzte BDF-Verfahren zur numerischen Sensitivitätsanalyse für Index-2-Systeme erweitert werden, wobei zur Berechnung der Sensitivitätsmatrizen neue Techniken zur konsistenten Initialisierung der Sensitivitätsgleichungen am Anfangszeitpunkt und bei Schaltpunkten entwickelt werden müssen.

Ein alternativer Ansatz mit Vollparameterisierung der Steuer- und Zustandsvariablen (direkte Kollokation) soll testweise durch Adaption bestehender Verfahren für die betrachteten Prozessmodelle verfahrenstechnischer Anlagen in Betracht gezogen werden. Aufgrund der sehr großen Anzahl von mehreren tausend Zustandsvariablen bei den betrachteten verfahrenstechnischen Prozessmodellen können die resultierenden, dünnbesetzten nichtlinearen Optimierungsprobleme bei direkter Kollokation hunderttausende von Variablen besitzen, was auch bei Strukturausnützung jenseits der Kapazität derzeitiger SQP-Verfahren zu sein scheint.

b) Die schnelle Aktualisierung fast-optimaler Trajektorien

beruht auf der Linearisierung benachbarter Extremalen der bereits berechneten numerischen Lösung des parametrisierten Optimalsteuerungsproblems über dem gegenwärtigen Vorhersagehorizont Pj  und wird innerhalb des aktuellen Regelhorizontes Cj = [ t0,j,tC,j ] (tC,j â‰¤ tf,j) durchgeführt, wenn die Abweichung zwischen vorhergesagtem und berechnetem Zustand zu groß ist.

Auf der Grundlage der Linearisierung benachbarter, parametrisierter Extremalen durch Berechnung und Verwendung der numerischen Sensitivitäten des parametrisierten Optimalsteuerungsproblems mit gestörtem Anfangswert xmess(takt) soll dies durchgeführt werden. Die Sensitivitätsmatrix
∂/∂p x*(t) wird bei einer mit dem geplanten direkten Schießverfahren für Index 2 Systeme berechneten Lösung wegen der verwendeten internen numerischer Differentiation zu den Integrationszeitpunkten mitberechnet. In die Berechnung der Parameterabhängigkeit sind die Anfangswerte der Zustandsvariablen mit einzubeziehen.

c) Die Zustandsschätzung

dient der mittel- und langfristigen Berechnung des aktuellen Systemzustands x(takt) für alle Zustandsvariablen des nichtlinearen, dynamischen Prozessmodells zum gegenwärtigen Zeitpunkt takt innerhalb des aktuellen Regelhorizontes Cj  aus Messdaten.

Im gewählten Ansatz spielt die Verfügbarkeit von Information über den aktuellen Prozesszustand eine zentrale Rolle. Da aber die direkte Messung aller Zustände prinzipiell nicht möglich ist, weil in Modellen i.allg. auch nichtphysikalische Größen auftreten, ist die Zustandsrekonstruktion aus verfügbaren Messhistorien zwingend erforderlich. Geht man davon aus, dass alle Zustände unter den gegebenen Voraussetzungen (Modell, Messwerte etc.) rekonstruierbar sind, bleiben als weitere Probleme der Einfluß von Messfehlern, die Berücksichtigung der verschiedenen Zeitskalen, in denen verschiedene Größen gemessen werden und vor allem der beschränke Echtzeitrahmen, der zur Ausführung einer Zustandsrekonstruktion gegeben ist.

Eine Möglichkeit zur optimierungsbasierten Zustandsschätzung besteht in der Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems für die Anfangswerte x(t0,j) als Endwerte eines in die Vergangenheit reichenden Schätzhorizonts [ tS,j,t0,j ]. Bei einer numerischen Lösung des Schätzproblems mit Schießansätzen wird die Jacobi-Matrix von x(t) nach den gesuchten Werten x(t0,j) benötigt. Diese kann mit dem im Optimalsteuerungsverfahren verwendeten, erweiterten numerischen Integrationsverfahren zur Berechnung der Sensitivitätsmatrizen berechnet werden. Um diese Berechnungen zu beschleunigen, muss verwendet werden, dass sukzessive Schätzprobleme gelöst werden müssen, die jeweils um einen Zeittakt verschoben sind. Daher bietet sich hier an, auch einen angepaßten Kollokationsansatz mit lokalen Basisfunktionen für das dynamische Prozessmodell zu untersuchen, bei dem pro neuem zu ermittelndem Zustandsschätzwert nur ein stark reduziertes nichtlineares Gleichungssystem zu lässig ist.

d) Die Steuerung verfahrenstechnischer Anlagen,

speziell Luftzerlegungsanlagen, wird im Forschungsvorhaben exemplarisch untersucht. In Luftzerlegungsanlagen werden Sauerstoff, Stickstoff und Edelgase wie Argon durch Tieftemperatur-Rektifikation oder - je nach Menge und Reinheit der Produkte - durch Druckwechseladsorption gewonnen. Hier sollen dynamische Lastwechselfälle wie beim Wechsel von Sauerstoffteilproduktion auf -vollproduktion oder beim Wechsel von Sauerstoff- auf Stickstoffproduktion unter allen betriebstechnischen Nebenbedingungen untersucht werden. Die dynamischen Prozessmodelle werden durch sehr große Systeme differential-algebraischer Gleichungen beschrieben. Der hier auftretende DAG-Index ist modellbedingt 2.

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